Contoh Soal Ujian: Rumus Menentukan Panjang Proyeksi Orthogonal Vektor Segaris

Berikut contoh contoh Soal Ujian Menentukan Panjang Proyeksi Vektor Orthogonal,  yang dapat dipelajari untuk Latihan. Soal merupakan modifikasi dari bentuk soal soal ujian agar lebih mudah dipahami dan tentu mudah untuk dihafalkan.

Catatan Penting:  Seluruh notasi vector yang dilambangkan dengan tanda panah di atas huruf (notasi vector) dihilangkan. Hal ini dimaksudkan untuk mempermudah penulisan.

1). Contoh Soal Ujian Panjang Proyeksi Vektor SBMPTN,  

Diketahui A (t2 +3,t) dan B (1,2), sehingga Panjang vector proyeksi OA terhadap vector OB lebih kecil dari 6/√5. Tentukanlah nilai t yang sesuai…

Jawab…

Rumus Menentukan Panjang Proyeksi Vektor a Terhadap Vektor b,

Panjang proyeksi vector a terhadap vector b dapat dinyatakan dengan rumus berikut…


a.b/|b|

Keterangan…

a.b = perkalian titik dot vector a dengan vector b

|b| = Panjang vector b

misalkan

vector a = vector OA

vector b = vector OB

seperti ditunjukkan pada gambar berikut…

Gambar Rumus Panjang Proyeksi Vektor
Gambar Rumus Panjang Proyeksi Vektor

Sehingga panjang proyeksi vectornya adalah…

OA.OB/|OB| < 6/√5

Cara Menentukan Perkalian Titik Dot Vektor OA.OB,

Perkalian dot vector OA dengan vector OB adalah…

OA.OB = ((t2 + 3) x 1) + (t x 2)

OA.OB = t2 + 3 + 2t

Rumus Menentukan Panjang Vektor OB,

Panjang vector OB ditentukan dengan menggunakan rumus berikut…

|b| = √(x2 + y2)

|OB| = √(12 + 22)

|OB| = √5

Menghitung Panjang Proyeksi Vector OA Terhadap Vektor OB,

Panjang proyeksi vector OA adalah…

OA.OB/|OB| < 6/√5 atau

\mathrm{\frac{OA.OB}{\left | OB \right |}< \frac{6}{\sqrt{5}}}

[(t2 + 3 + 2t)/√5] < 6/√5 atau

\mathrm{\frac{t^{2}+3+2t}{\sqrt{5}}<\frac{6}{\sqrt{5}}}

atau

 t2 + 3 + 2t < 6 atau

t2 + 2t – 3 < 0 atau

(t + 3) (t – 1) < 0

nilai t yang pertama…

t + 3 < 0

t < -3

nilai t yang kedua…

t – 1 < 0

t < 1

Jadi, nilai t yang mungkin adalah…

-3 < t < 1

2). Contoh Soal Ujian Vektor Segaris  SPMB,

Diketahui dua vector yaitu vector a =(x, 4, 7) dan vector b = (6, y, 14).  Agar kedua vector tersebut segaris, tentukan nilai x – y adalah…

Jawab…

Menentukan Vektor Segaris,

Vektor a dan Vector b akan segaris jika memenuhi hubungan berikut…

a = k.b atau

(x, 4, 7) = k (6, y, 14).  atau kalau diuraikan menjadi seperti ini…

x = k.6

4 = k.y

7 = k.14

Menentukan Nilai K Pada Vektor Segaris,

ambil salah satu komponen yang tidak mengandung unsur x dan y agar nilai k diperoleh…

7 = k.14

k = ½

Menentukan Nilai x Dan Y Pada Vektor a dan Vektor b,

substitusikan nilai k pada komponen lainnya seperti berikut…

x = k.6 dimana k = ½, sehingga menjadi

x = ½ (6)

x = 3, substitusikan lagi ke

4 = k y

4 = ½ (y)

y = 8. dengan demikian nilai x – y adalah

x – y = 3 – 8 = -5

3). Contoh Soal Ujian Ujian Masuk UGM Panjang Prokyeksi Vektor,

Jika proyeksi vector u = 3i + 4j ke vector v = -4+8j adalah vector w. Tentukanlah vector |w|

Jawaban…

|w| = merupakan Panjang vector w.

Cara Menentukan Panjang Vektor w,

Panjang vector w adalah Panjang proyeksi vector u terhadap vector v, sehingga dapat dinyatakan dengan rumus seperti berikut…

|w| = (u.v)/|v| atau

\mathrm{|w| = \frac{u.v}{\left | v \right |}=}

Untuk menghindari kesalahan hitung, maka diselesaikan satu satu seperti berikut…

Menghitung Perkalian Dot Vektor u Dan Vektor v

perkalian titik dot vector u dan vector v adalah sebagai berikut…

u = 3i + 4j

v = -4+8j

u.v = (3.-4) + (4.8)

u.v = -12 + 32 = 20

Menghitung Panjang Vektor v

Panjang vektor v dapat dinyatakan dengan rumus berikut…

|v| = √(x2 + y2)

|v| = √(-42 + 82)

|v| = √(16 + 64)

|v| = √80 atau

|v| = √(16 x 5) atau

|v| = 4√5

Menghitung Panjang Proyeksi Vektor u Terhadap Vektor v Panjang Vektor w,

Panjang proyeksi vector u terhadap vector v adalah Panjang vector w yaitu…

|w| = (u.v)/|v| atau

\mathrm{|w| = \frac{u.v}{\left | v \right |}=}

diketahui

u.v = 20

|v| = 4√5

sehingga Panjang vector proyeksinya adalah…

|w| = 20/4√5 atau

|w| = 5/√5 atau

|w| = √5

4). Contoh Soal Ujian SPMB + SNMPTN Perhitungan Proyeksi Vektor,

Diketahui titik titik P(1,1), Q(5,3) dan R(2,4). Jika titik S merupakan proyeksi titik R pada garis PQ, maka Panjang PS adalah…

Jawaban…

Menentukan Vektor PQ dan PR

Vektor PQ dan vector PR ditentukan seperti berikut…

Vektor PQ = (5,3) – (1,1)

PQ = (4, 2) atau

PQ = 4i + 2j

Vektor PR = (2,4) –  (1,1)

PR = (1, 3) atau

PR = i + 3j

Menentukan Panjang Proyeksi Vektor PS

Panjang proyeksi adalah Panjang titik P ke titik S yaitu Panjang vector PS seperti ditunjukkan pada gambar berikut…

Contoh Soal Ujian: Rumus Menentukan Panjang Proyeksi Orthogonal Vektor Segaris
Menentukan Panjang Proyeksi Vektor PS

Panjang vector PS adalah Panjang proyeksi vector PR terhadap vector PQ, sehingga dapat dinyatakan dengan rumus seperti berikut…

|PS| = (PR.PQ)/|PQ| atau

\mathrm{|PS| = \frac{PR.PQ}{\left | PQ \right |}=}

Untuk menghindari kesalahan hitung, maka diselesaikan satu satu seperti berikut…

Menghitung Perkalian Dot Vektor PR Dan Vektor PQ

perkalian titik dot vector PR dan vector PQ adalah sebagai berikut…

PR = (1, 3) atau

PR = i + 3j

PQ = (4, 2) atau

PQ = 4i + 2j

PR.PQ = (1.4) + (3.2) = 10

PR.PQ = 10

Menghitung Panjang Vektor v

Panjang vektor v dapat dinyatakan dengan rumus berikut…

|PQ| = √(x2 + y2)

|PQ| = √(42 + 22)

|PQ = √(20) atau

|PQ| = 2√5

Menghitung Panjang Proyeksi Vektor PR Terhadap Vektor PQ,

Panjang proyeksi vector PR terhadap vector PQ adalah…

|PS| = (PR.PQ)/|PQ| atau

\mathrm{|PS| = \frac{PR.PQ}{\left | PQ \right |}=}

diketahui

PR.PQ = 10

|PQ| = 2√5

sehingga Panjang vector proyeksinya adalah…

|PS| = 10/2√5 atau

|PS| = 5/√5 atau

|PS| = √5

5). Contoh Soal Ujian Nasional Proyeksi Orthogonal Vektor,

Diketahui titik A(2, 7, 8), B(-1, 1, -1) dan titik C(0, 3, 2). Jika vector AB wakil vector u dan BC wakil vector v, maka proyeksi orthogonal vector u terhadap vector v adalah…

Jawaban…

Menentukan Vektor u dan Vektor v Dari Titik A B dan C,

Vektor u = Vektor AB = (-1 – 2)i + (1 – 7)j + (-1 -8)k

u = – 3i – 6j – 9k

Vektor v = vector BC = (0 –(-1))i + (3-1)j + (2 –(-1))k

v = i + 2j + 3k

Menghitung Proyeksi Orthogonal Vektor u Terhadap v,

Proyeksi Orthogonal Vektor u terhadap vector v dapat dinyatakan dengan rumus berikut…

\mathrm{w  = \frac{u.v}{\left | v\right |^{2}}.v}

misal proyeksi Orthogonal    vektornya adalah w

Untuk menghindari kesalahan hitung, maka diselesaikan satu satu seperti berikut…

Menghitung Perkalian Dot Vektor u Dan Vektor v

perkalian titik dot vector u dan vector v adalah sebagai berikut…

u = – 3i – 6j – 9k

v = i + 2j + 3k

u.v = (-3.1) + (-6.2) + (-9.3)

u.v = -3 – 12 – 27 = – 42

Menghitung Panjang Vektor v

Panjang vektor v dapat dinyatakan dengan rumus berikut…

|v| = √(x2 + y2 + z2)

|v| = √((-1)2 + 22 + 32)

|v = √(14) sehingga…

|v|2 = 14

Substitusikan ke rumus

\mathrm{w  = \frac{u.v}{\left | v\right |^{2}}.v}

w = (-42/14). ( i + 2j + 3k)

w = -3. ( i + 2j + 3k)

w = – 3i –  6j – 9k

error: Content is protected !!