Penjumlahan Perkalian Titik Dot Vektor Tegak Lurus: Pengertian Contoh Soal Ujian

Berikut contoh contoh Soal Ujian Penjumlahan Perkalian Titik Vektor Tegak Lurus: Pengertian Contoh Soal Ujian, yang dapat dipelajari untuk Latihan. Soal merupakan modifikasi dari bentuk soal soal ujian agar lebih mudah dipahami dan tentu mudah untuk dihafalkan.

Catatan Penting: Seluruh notasi vector yang dilambangkan dengan tanda panah di atas huruf (notasi vector) dihilangkan. Hal ini dimaksudkan untuk mempermudah penulisan.

Contoh Penulisan:

$\vec{a}=2\vec{i}+4\vec{j}+7\vec{k}$ , tanda panah dihilangkan dan ditulis menjadi seperti ini…

a = 2i + 4j + 7k

1). Contoh Soal Ujian Penjumlahan Vektor a Dan b Tegak Lurus Terhadap Vektor c,

Diketahui vector a, b dan c sebagai berikut…

vector a = 2i – j + 4k

vector b = 5i + j + 3k dan

vector c = 2i + mk

Jika penjumlahan vector a + vector b atau vector (a + b) tegak lurus terhadap vector c, maka nilai penjumlahan ketiga vector a + b + c adalah…

Jawaban

Menghitung Penjumlahan Dua Vektor (a + b),

vector a + b = …

a = 2i – j + 4k

b = 5i + j + 3k +

a + b = 7i + 0 + 7k

atau

a+b = (2i+5i) + (–j+j) + (4k+3k)

a+b=7i +0+7k

Rumus Perkalian Dua Vektor Tegak Lurus,

vector (a+b) tegak lurus terhadap vektor c,
karena (a+b) ⊥ c maka…

(a+b).c = 0

(7i +0+7k).(2i + mk) = 0

7.2 + 7.m = 0

14 + 7m = 0

-14 = 7m

m = -14/7

m = –2.

Menentukan Vector c Yang Tegak Lurus Terhadap Penjumlahan Dari Vektor a dan b.

Dengan demikian, vector c adalah…

c = 2i – 2k

Sehingga vector a + b + c

a = 2i – j + 4k

b = 5i + j + 3k

c = 2i –2 k

a+b+c = (2i + 5i + 2i) + (-j + j +0) + (4k + 3 k – 2k)

a+b+c= 9i + 5k

2). Contoh Soal Ujian SNMPTN,

Diketahui vector u = (a, -2, -1) dan vector v = (a, a, -1). Jika vector u tegak lurus pada vector v, maka nilai a adalah…

Jawab…

Menentukan Perkalian Vektor u dan Vektor v Yang Tegak Lurus,

Vektor u tegak lurus pada vector v, maka perkalian kedua vector ini adalah sama dengan nol.

u.v = 0

(a).(a) + (-2).(a) + (-1).(-1) = 0

a² -2a+1=0 atau disederhanakan menjadi…

(a – 1)² = 0

Sehingga nilai a adalah…

a = 1

3). Contoh Soal Ujian SNMPTN,

Diketahui vector u =(a³, 3, 4a) dan v=(2, -7a², 9) dengan nilai a adalah 0<a<8. Tentukan nilai maksimum dari perkalian vector u dangan vector v atau (u.v)

Jawab…

Menentukan Perkalian Titik (dot) Dua Vektor u dan v,

u.v = (a³.2) + (3.-7a²) + (4a.9)

u.v = 2a³ – 21a² + 36a.

rentang nilai a adalah 0<a<8

Menentukan Nilai Maksimum Perkalian Dot Vektor u Dengan v,

Nilai maksimum dari perkalia dot vector u dan v diperoleh ketika turunan 1 (pertama) dari

u.v adalah 0 atau

(u.v)¹ = 0

Turunan pertama (1) dari

u.v = 2a³ – 21a² + 36a.

adalah…

(u.v)¹ = 6a² – 42a + 36 = 0

Disederhanakan dengan cara membagi hasil turunan pertama dengan bilangan enam (6). Sehingga diperoleh…

(u.v)¹ = 6/6a² – 42/6a + 36/6 = 0

(u.v)¹ = a² – 7a + 6 = 0

Kemudian disederhanakan menjadi seperti berikut…

(a – 6)(a – 1) = 0

dan diperoleh nilai a yang pertama adalah…

a – 6 = 0

a = 6

sedangkan nilai a kedua adalah…

a – 1 = 0

a = 1

Menguji Kedua Nilai a Pada Hasil Perkalian Dot Dua Vektor u Dengan Vektor v,

Hasil perkalian titik vector u dan v adalah…

u.v = 2a³ – 21a² + 36a.

substitusikan nilai a = 6, sehingga diperoleh hasil seperti berikut…

u.v = 2(6)³ – 21(6)² + 36(6)a.

u.v = 432 – 756 + 216

u.v = -108

substitusikan nilai a = 1, maka akan diperoleh seperti berikut…

u.v = 2(1)³ – 21(1)² + 36(1)a.

u.v = 2 – 21 + 36

u.v = 17

Jadi nilai maksimum untuk perkalian titik vector u dan v atau (u.v) adalah…

u.v =17

4). Cantoh Soal Ujian Nasional,

Diketahui vector vector a, b, dan c seperti berikut…

vector a = 2i + 4j + k

vector b = -3i + mj + 2k

vector c = i + 2j – k

Jika vector a tegak lurus terhadap vector b, maka pengurangan vector b – c adalah…

Jawab…

Karena vector a tegak lurus terhadap vector b, maka…

perkalian titik (dot) vector a dan vector b adalah…

a.b = 0

a.b = (2x-3) + (4xm) + (1 x 2) = 0, atai

-6 + 4m + 2 = 0, atau

-4 + 4m = 0, atau

4m = 4, atau

m = 4/4

m = 1

Dengan demikian, vector b adalah…

b = -3i + j + 2k

Jadi, pengurangan vector b – c adalah…

b = -3i + j + 2k

c = i + 2j – k

b – c = (-3i -i) +(j -2j) + (2k – -k)

atau

b – c = -4i – j + 3k

5). Contoh Soal Ujian SMPTN,

Diketahui…

vector a = 2i + pj + k

vector b = 3i + 2j + 4k

Agar vector a dan b saling tegak lurus, maka nilai p adalah…
Jawab…

Vektor a dan vector b akan saling tegak lurus jika perkalian titik dot antara vector a dan b adalah nol.

a.b = 0, atau

a.b = (2 x 3) + (p x 2) + (1 x 4) = 0,

atau

6 + 2p + 4 = 0 atau

10 + 2p = 0 atau

2p = -10 atau

p = -5

Jadi vector a adalah…

vector a = 2i – 5j + k

6). Contoh Soal Ujian SNMPTN,

Tentukanlah nilai p dari vector pi + 2j – 6k agar saling tegak lurus terhadap vector 4i – 3j + k …

Jawab…

Agar kedua vector dapat saling tegak lurus, maka perkalian titik dot kedua vector tersebut hasilnya harus nol seperti berikut…

(p x4) + (2 x -3) + (-6 x 1) = 0 atau

4p – 6 – 6 = 0, atau

4p – 12 = 0, atau

p = 12/4, atau

p = 3

Dengan demikian kedua vektor tersebut adalah

3i + 2j – 6k

4i – 3j + k

Penjumlahan Perkalian Titik Dot Vektor Tegak Lurus: Pengertian Contoh Soal Ujian